Проекция (в геометрии)

Проекция (от лат. projectio — бросание вперёд, выбрасывание), геометрический термин, связанный с операцией проектирования (проецирования), которую можно определить следующим образом (см. рис. 1): выбирают произвольную точку S пространства в качестве центра проектирования и плоскость П', не проходящую через точку S, в качестве плоскости проекций (картинной плоскости). Чтобы спроектировать точку А (прообраз) пространства на плоскость П', через центр проекций S («глаз») проводят прямую SA до её пересечения в точке А' с плоскостью П'. Точку А' (образ) и называется проекцией точки А. Проекцией фигуры F называется совокупность П. всех её точек. Прямая линия, не проходящая через центр П., проектируется в виде прямой. Описанная П. носит название центральной или конической. Она существенно зависит от выбора центра проекций S. При проектировании точек данной плоскости П на плоскость П' (см. рис. 2) встречаются следующие затруднения. На плоскости П имеются такие точки, для которых не существует образов на плоскости П'. Такова, например, точка В, если проектирующая прямая SB параллельна плоскости П'. Для устранения этого затруднения, происходящего от свойств евклидова пространства, последнее пополняют бесконечно удалёнными элементами (несобственными элементами). Именно, принимают, что параллельные прямые BS и РА' пересекаются в бесконечно удалённой точке B'; тогда её можно считать образом точки В на плоскости П'. Аналогично бесконечно удалённая точка С является прообразом точки C' (см. рис. 2). Благодаря введению бесконечно удалённых элементов, между точками плоскости П и точками плоскости П' устанавливается взаимно однозначное соответствие, осуществляемое при помощи центральной П. Такое соответствие носит название перспективной коллинеации.

Большое практическое значение имеет вид проектирования, при котором центром П. является бесконечно удалённая точка пространства ═(см. рис. 3). При этом все проектирующие прямые параллельны и П. называется параллельной или цилиндрической. Взаимно однозначное соответствие между точками плоскостей П и П', установленное при помощи параллельного проектирования, называется перспективно-аффинным или родственным (см. Аффинные преобразования).

В черчении широко применяется частный вид параллельного проектирования, когда плоскость П. расположена перпендикулярно (ортогонально) к направлению проектирования. П. в этом случае называется прямоугольной или ортогональной.

Центральные и параллельные (в частности, ортогональные) П. широко используют в начертательной геометрии, причём получаются различные виды изображений (перспективные, аксонометрические и др.). Специальные виды проектирования на плоскость, сферу и др. поверхности применяются в географии, астрономии, кристаллографии, топографии и т.д. Таковы картографические проекции, гномонические проекции, стереографические проекции и др. Об ортогональной проекции направленных отрезков (векторов) см. в ст. Векторное исчисление.

Н. Ф. Четверухин.