Спектральное разложение (случайной функции)

Спектральное разложение случайной функции, разложение случайной функции (в частности, случайного процесса) в ряд или интеграл по той или иной специальной системе функций такое, что коэффициенты этого разложения представляют собой взаимно некоррелированные случайные величины. Наиболее известный класс С. р. случайных функций ‒ представления стационарных случайных процессов Х (t) в виде интеграла Фурье ‒ Стилтьеса

,

где Z(l) ‒ случайная функция с некоррелированными приращениями. Существование такого С. р. показывает, что стационарный случайный процесс всегда можно рассматривать как наложение некоррелированных друг с другом гармонических колебаний различных частот со случайными фазами и амплитудами. С. р. аналогичного вида, но с заменой гармонических колебаний n-мерными плоскими волнами, имеет место и для однородных случайных полей в n-мерном пространстве. Другой тип С. р. случайных функций ‒ это разложение случайного процесса X(t), заданного на конечном отрезке оси (или, более общо, случайной функции X(t), заданной на ограниченной области n-мерного пространства), в ряд вида

,

где jk(t) и lk ‒ собственные функции и собственные значения интегрального оператора в функциональном пространстве с ядром, равным корреляционной функции случайного процесса (или функции) X(t), a Zk, k = 1, 2,..., ‒ последовательность попарно некоррелированных случайных величин единичной дисперсии. С. р. специального вида имеют место также для однородных и изотропных случайных полей в евклидовых пространствах и для однородных полей на пространствах с группой преобразований, отличных от евклидова пространства.

Лит.: Яглом А. М., Спектральные представления для различных классов случайных функций, в кн.; Труды 4-го Всесоюзного математического съезда, т. 1, Л., 1963, с. 250‒73: Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т.1, М., 1971.

═ А. М. Яглом.