Тэта-функции

        целые функции (См. Целая функция), отношения которых представляют Эллиптические функции. Основные четыре Т.-ф. определяются следующими быстро сходящимися рядами:

         θ₁(z) = 2q ^1/4sin z — 2q ^9/4 sin 3z + 2q ^25/4 sin 5z +...,

         θ ₂(z) = 2q ^1/4cos z + 2q ^9/4 cos 3z + 2q ^25/4 cos 5z +...,

         θ ₃(z) = 1 + 2q cos 2z + 2q ⁴ cos 4z + 2q ⁹ cos 6z +...,

         θ ₄(z) = 1 — 2q cos 2z + 2q ⁴ cos 4z — 2q ⁹ cos 6z +..., где |q| < 1. При добавлении π к аргументу z эти функции приобретают соответственно множители —1, —1, 1, 1, a при добавлении πτ, где τ связано с q соотношением q = e ^{πι τ}, множители —N, N, N, —N (N = q^-1e ^–2ιk). Отсюда следует, что, например, отношение ϑ₁(z)/ϑ₄(z) представляет мероморфную функцию (См. Мероморфные функции), не изменяющуюся при добавлении к аргументу 2π или πτ, то есть эллиптическую функцию с периодами 2π и πτ. Обобщением указанных Т.-ф., введённых К. Якоби (обозначения Якоби несколько иные), являются Т.-ф., построенные А. Пуанкаре для представления автоморфных функций (См. Автоморфная функция).

        

         Лит.: Уиттекер Э.-Т., Ватсон Дж.- Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.